傅里叶变换是用三角函数表示目标函数,傅里叶变换广泛的应用在信号处理、偏微分方程、热力学、概率统计等领域:大到天体观测,小到我们手机中图片、音频应用等,没有傅里叶变换就没有如今丰富多彩的信息化时代。在人工智能领域中,可利用傅里叶变换证明中心极限定理,而中心极限定理是概率学最重要的基石;傅里叶变换本质是将时域的信息汇总到频域中,当两组数据的傅里叶变换结果相同时,称为两者依概率收敛。
如果你不想知道傅里叶变换的原理,只是想知道它能做什么事、实现什么功能,推荐阅读链接:An Interactive Introduction to Fourier Transforms或者它的中文版讲解。
从傅里叶级数开始
法国数学家傅里叶认为,任何周期函数
都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示。即使用三角函数集合{1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,sin3x,cos3x,...,sinnx,cosnx}在区间[−π,π]作为函数空间一组正交基,目标函数f(x)可写成傅里叶级数:
f(x)=2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx)
既然是正交基,则满足以下性质:
−π∫πcosmx⋅sinnxdx=0−π∫πcosmx⋅cosnxdx=0(m=n)−π∫πsinmx⋅sinnxdx=0(m=n)−π∫πcosmxdx=0(m=n)
因此使用f(x)直接与某一个基卷积,应当会有如下结果:
−π∫πf(x)⋅cosmxdx=−π∫π(2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx))⋅sinnxdx=2a0−π∫πsinnxdx+n=1∑∞an−π∫πcosnx⋅cosmxdx+n=1∑∞bn−π∫πsinnx⋅cosmxdx=amπ
同理可以得到各个系数的计算公式:
an=π1−π∫πf(x)⋅cosnxdx(n=0,1,2,...)bn=π1−π∫πf(x)⋅sinnxdx(n=1,2,...)
从无限长连续信号到有限长离散信号
后面懒得写了,说点关键词吧:香农采样定理、脉冲函数对离散的帮助、等间隔抽样